숫자에 대한 감각과 수에대한 이해는 선천적으로 타고나는 인간의 본성일까요?
수에대한 개념이 적거나 없는 경우는 어떻게 이해 해야 할까요?
짧은 지문이지만 시험에 나온적도 있고 내용도 흥미로워 꼭 한번 정독 해 보세요.
(2013년 1학기 기출)
Unit 21. Easy as 1, 2, 3
People come into the world ready to count its wonders.
The baby is just one day old and has not yet left hospital. She is quiet but alert. Twenty centimetres from her face researchers have placed a white card with two black spots on it. She stares at it intently. A researcher removes the card and replaces it by another, this time with the spots differently spaced. As the cards alternate, her gaze starts to wander - until a third, with three black spots, is presented. Her gaze returns: she looks at it for twice as long as she did at the previous card. Can she tell that the number two is different from three, just 24 hours after coming into the world:
아기는 태어난 지 하루밖에 되지 않았고 아직 퇴원하지도 않았다. 그녀는 조용하지만 민첩하다. 연구자들은 아기의 얼굴에서 20cm 떨어진 곳에 두개의 점이 있는 흰색 카드를 두었다. 아기는 유심히 그것을 주시한다. 연구자들은 그 카드를 치우고 이번엔 다른 지점에 세 개의 점이 있는 카드를 둔다. 카드가 바뀌자 아기의 시선은 3개의 점이 있는 카드로 바뀌기 전까지 헷갈린다. 아기는 그 전의 카드보다 두 배 오랫동안 보고 있으면 아기의 시선은 돌아온다. 겨우 태어난 지 24시간밖에 되지 않은 아기가 2와 3이 다르다는 것을 말할 수 있을까?
Or do newborns simply prefer more to fewer? The same experiment, but with three spots preceding two, shows the same revival of interest when the number of spots changes. Perhaps it is just the newness? When slightly older babies were shown cards with pictures of household objects instead of dots(a comb, a key, an oragne and so on), changing the number of items had an effect separate from changing the items themselves. Could it be the pattern that two things make, as opposed to three? No again. Babies paid more attention to rectangles moving randomly on a screen when their number changed from two to three, or vice versa. The effect even crosses between senses. Babies who were repeatedly shown two spots perked up more when they then heard three drumbeats than when they heard just two; likewise when the researchers started with drumbeats and moved to spots.
아니면 단순히 신생아는 적은 것 보다 많은 것을 좋아하는 걸까? 같은 형식의 실험에서 이번엔 세 개의 점이 있는 카드를 두개짜리보다 먼저 보여줬는데 점의 수 변화에 따른 흥미의 회복이 같음을 볼 수 있었다.혹시 이건 단지 새로움 일까?약 간 나이 많은 아기들에겐 점 대신 가족의 물건을 보여줄 때, 물건 수의 변화는 물건 자체와 관계없이 작용한다. 이것은 대조적인 세 개에 대한 두개의 주기가 될 수 있는가? 그렇지 않다.아기들은 그 수가 둘에서 셋으로 또는 그 반대로 변할 때 화면에서의 직사각형의 움직임에 더 관심을 기울인다. 이 효과는 감각을 가로질러서도 작용한다. 과학자들이 점의 움직임과 드럼소리를 같이 낼때 마찬가지로 반복적으로 두 개의 점을 본 아기들은 두 번의 드럼소리 보다 세 번의 드럼소리를 들을 때, 더 관심을 기울인다.
"One great blooming, buzzing confusion" was how William James, a 19th-century psychologist, described the way he thought the world looked to a newborn baby. But these experiments, and many others like them over the past few decades, have convinced researchers that, on the contrary, babies are born with many ways of making sense of what they see and hear. The trick is to use their love of novelty to work out what is happening inside their brains: when shown the same things repeartedly, babies' eyes wander; then the scene changes, their gaze returns. That makes visible what to them constitutes a change in the world around them worthy of notice.
"하나의 훌륭한 만발은 웅성대는 혼잡이다"는 19세기 심리학자 제임스 윌리엄스가 신생아가 세상을 보는 관점에 대해 그의 생각을 묘사한 말이다. 그러나 이런 실험에서 그리고 지난 몇 십년간 실행된 이와 같은 실험에선 반대로 신생아들은 그들만의 보고 듣는 고유한 방식을 가지고 태어난다고 확신했다. 속임수는 아기들이 같은 것을 반복적으로 보여주고, 감각이 변하여 의심할 때 아기들의 뇌 속에서 무슨 일이 일어나고 있는가를 이해하기 위한 것이다. 그것은 그들 주변의 세상의 변화에 대한 구성의 가치 있는 인식을 가시화 한다.
Dot and carry one 점 그리고 무엇의 운반
One of those ways of understanding the world is by number. People are born with an innate sense of how many items there are in small collections. Experiments in which older children and adlts are shown randomly arranged dots and asked to say quickly how many there are sho this sense is retained throughout life. Within a limited range, humans are born arithmenticians, too. When babies a few months old were shown dolls placed and removed from behind a screen they had correct expectation sof the number of dolls they would see when the curtain was drawn aside, and were surprised when trickery meant those expectations were violated. In face, they were more surprised to see the wrong number of dolls than the right number, but different-looking ones.
세상을 이해하는 방법 중의 하나는 숫자에 의한 것이다. 사람들은 작은 무리로 잇는 물건들이 몇 개 있는지에 관한 타고난 감각을 가지고 태어난다. 나이든 아이들과 어른들에게 불규칙하게 배열된 점을 보여주고 몇 개가 있는지 빠르게 묻는 실험은 이러한 감각이 일생동안 유지된다는 것을 보인다. 셋에서 네 개의 물건이나 수 까지는 세지 않고도 즉시 알아볼 수 있다. 한정된 범위 내에서 인간은 산술가로 태어난다. 몇 개월 된 아기에게 인형을 보여주고 커튼이 치워졌을 때, 예상했던 것과 다르다는 것을 알고 놀랐다.
Some animals also seem able to perceive and understand small numbers. From the 1930s Otto Kӧhler, a German zoologist, trained ravens to open boxes with the same number of dots on the lid as a card held by a researcher. One raven learnt to distinguish two, three, four, five and six dots. Rats can learn to ignore a certain number of doors in a maze before choosing which one to enter. Chimpanzees have been taught to match the numerals 1 to 6 to the number of objects in a display and to find oranges hidden in two different places and point to the numeral that indicates their total number.
어떤 동물들도 또한 작은 숫자를 인식하고 이해할 수 있는 것 같다. 1930년대부터 독일의 동물학자인 Kӧhler는 연구자가 들고 있는 카드와 같은 수의 점이 있는 상자의 뚜껑을 열도록 훈련 시켰다. 한 까마귀는 2개, 3개, 4개, 5개와 6개의 점을 구별하는 것을 배웠다. 생쥐는 미로 속에서 어떤 문으로 들어갈 지 선택하기 전에 특정 숫자를 무시하도록 배울 수 있었다. 침팬지는 보이는 사물의 개수와 1에서 6까지의 수를 맞추고 다른 두 곳에 숨겨진 오렌지를 찾아 합을 가리키는 숫자를 가리키도록 훈련 받았다.
Even more strikingly, some wild animals appear to understand and use numerical facts without training. Karen McComb of the University of Sussex, in England, played a variety of recordings of lions roaring at night in the Serengeti National Park-different numbers of lions; their roars in sequence and overlapping; and so on. She wanted to test the theory that, since fights between lions are very costly when lions heard large numbers of intruders' roars they would withdraw unless they were in superior numbers. The best explanation of what she observed was that lions estimated the number of intruders from the number of different-sounding roars, compared that number to the number in their own group and then decided whether to attack or slink away.
더욱 눈에 띄는 것은, 어떤 야생 동물들이 훈련 없이 수와 관련된 사실을 이해하고 이용하는 것 같다는 것이다. 영국 서섹스 주립 대학교의 Karen McComb는 세렝게티 국립 공원에서 밤에 울부짖는 사자에 관련된 다양한 기록을 했다. 다양한 사자들의 포효는 차례대로 겹쳐갔다. 그녀는 사자 간의 싸움은 매우 대가가 크기 때문에 침입자의 소리를 들으면 우월한 수가 아닐 때는 후퇴한다는 이론을 확인하고 싶었다. 그녀가 관찰한 것에 대한 최고의 설명은 사자들이 다양한 포효 소리를 듣고 침입자의 수를 추정하고 그 수와 자신의 무리의 수와 비교를 하여 공격할지 도망갈지를 결정한다는 것이다.
That humans (and perhaps other animals) come ready-supplied with numbers contradicts two popular rival theories: the Platonic and the constructivist. Plato thought numbers (and geometric objects such as circles) existed in some abstract, eternal and perfect realm, of which mortals were granted only an occasional glimpse. Constructivists follow Jean Piaget, a Swiss child psychologist, in thinking that by moving things in the real world around and observing the result people "construct" an understanding of number in the first few years of their lives. The distinction, though abstract, has practical relevance too. Could "maths-phobes" be born, rather than made? Can they be cured? And could mathematics be taught better to all?
인류와 (그리고 어쩌면 다른 동물들도) 유명한 두 가지 경쟁 이론인 ?? 플라톤은 수가 (그리고 원과 같은 기하학적인 물체들이) 어떠한 추상적이며 영원하고 완벽한 영역에 존재하며, 이곳에서 인간은 순간의 짧은 경험으로만 인정된다고 생각했다. 구성주의자들은 현실 세계에서 물체를 움직이고 결과를 관측함으로서 사람들이 인생의 처음 몇 년간 수에 관한 이해를 "구성한다"고 믿으며 스위스의 아동 심리학자 Jean Piaget의 뒤를 이었다. 이 구분은 비록 추상적이지만 현실적인 타당성 역시 가지고 있다. "수학을 싫어하는 사람"은 만들어지기보다 타고난 것일 수 있을까? 치료될 수 있을까? 그리고 모두에게 수학을 더 잘 가르칠 수 있을까?
Numbers on the brain 뇌 내의 숫자
Brian Butterworth, a cognitive neuroscientist at University College London, has spent much of his career teasing out which bits of humans' understanding of numbers are innate-and which learnt, and how. He thinks people are born with brain circuits that are dedicated to recognising and understanding the number of items in small collections. On this foundation an entire "number sense" is built, as children realise that bigger and bigger numbers can be reached by adding "one more" and learn by experience how these bigger numbers behave.
런던 단과 대학의 인지 신경 과학자인 Brain Butterworth는 대부분의 경력을 숫자에 대한 인간의 이해 중 어느 부분이 내재되어 있고 어느 부분을 배우게 되는지, 그리고 그 방법을 알아내기 위해 보냈다. 그는 사람들이 작은 무리의 물체의 수를 이해하고 인식하는 데 전념하는 뇌 회로를 가지고 태어난다고 생각했다. 이러한 이를 토대로 하여 전체적인 "숫자 감각"이 성립한다. 아이들이 더욱 더 큰 숫자는 "하나 더" 추가함으로서 도달할 수 있다는 것을 깨닫고 이런 큰 숫자들이 어떻게 반응을 하는지를 경험을 통해 배우기 때문이다.
His most recent work has confirm!ed that to develop a better understanding of numbers than that of a newborn baby, it is not necessary to be able to count with words. He collaborated with some Australian researchers to test aboriginal children in the country's Northen Territory who were monolingual speakers of one of two languages, Warlpiri and Anindilyakwa, in which the only number words are one, two, few and many. (Words for numbers have generally arisen when and where people grow crops or keep herds; hunter-gatherer bands, who have no herds or other stores of wealth, need not keep track of surpluses, or balances of trade.)
가장 최근 그의 연구는 어린 아이 이상의 수 이해를 발달시키기 위해서, 단어를 통해 세는 것은 필요하지 않다는 것을 확인시켰다. 그는 호주 북부 지역에 있는 단일어를 사용하며 숫자 단어라고는 하나, 둘, 적다 많다 뿐인 Warlpiri와 Anindilyakwa부족의 원주민 아이들을 시험해보기 위하여 호주 연구원과 협력했다. (숫자를 위한 단어는 곡식을 기르거나 짐승을 기를 때, 그런 장소에서 보편적으로 생겨났으며 수렵을 하는 무리는 가축이나 다른 부의 축적이 없으며, 남는 것을 기록하거나 거래에서 균형을 이룰 필요가 없다.)
Since the children were too old for the baby-staring trick, but unable to answer the question: "How many?", researchers laid out counters, then put them away and asked the children to "do as I did". To check that they were using the number of the counters, rather than mimicking their pattern, the reserchers banged sticks together and asked them to "make the counters like the noises". The children perfomed about as well as English-speaking aboriginal children living in Melbourne.
그 아이들은 아기-응시 속임수를 쓰기에는 너무 크지만 "몇 개니?" 같은 질문에 대답할 수 없었기 때문에 연구원들은 패?를 펼쳐놓고 집어넣은 후에 "내가 했던 대로 해보렴"이라고 요청했다. 그들이 행동을 따라하기보다 패의 숫자를 이용한다는 것을 확인하기 위해서 연구원들은 막대로 소리를 내면서 "이 소리와 같은 패를 만들어라" 같은 질문을 했다. 그 아이는 멜버른의 영어를 하는 아이만큼 수행해냈다.
Easy for some
If numbers had been invented by some prehistoric genius, then learning how to use them would be a matter of intelligence and practice. But what comes naturally to most is lacking in a few. Just as some people are born color-blind, or lose color vision after a brain injury, others are "number-blind": unable to comprehend what everyone else sees effortlessly. That deficit may leave other abilities-including other mathematical abilities-unimpaired.
만일 숫자가 몇 명의 선사 시대의 천재들에 의해 발명되었다면, 그것들을 이용하는 법을 배우는 것은 지식과 연습의 문제였을 것이다. 그러나 대부분의 사람에게 자연적으로 생기는 것은 소수에게는 결핍되어 있다. 어떤 이가 색맹으로 태어나거나, 뇌 부상 후에 색각을 잃는 것과 같이, 다른 이는 "숫자 맹인"이다. 즉, 모든 이들이 노력없이 아는 것을 이해할 수 없다. 이 결핍은 다른 수학적 능력을 포함한 능력들은 손상 시키지 않는다.
Dr Butterworth tells the story of Charles, a young man with lifelong mathematical difficulties. He could add two one-digit numbers only if he used his fingers. Sums involving two-digit numbers or multiplication or subtraction were beyond him. When shopping, he understood neither prices nor change. Tests showed he was not merely maths-phobic. Not only was he far slower than the average, but the pattern of his results was strange.
Butterworth 박사는 평생동안 수학에 어려움을 겪었던 Charles라는 젊은이의 이야기를 했다. 그는 손가락을 이용해야 겨우 한 두 개의한 자리 수를 더할 수 있었다. 두 자리 수나 곱셈이 포함된 합계 또는 뺄셈은 그의 능력 밖이었다. 쇼핑을 할 때, 그는 가격이나 거스름돈을 이해하지 못했다. 실험은 그가 단순한 수학 공포증이 아니라는 것을 보였다. 그는 평균보다 느릴 뿐 아니라, 그의 결과의 양식은 이상했다.
In one test Charles was shown a pair of digits and asked to name the larger number. The bigger the gap, the faster most people can do this: they say "nine" faster when shown 9 and 2 than when shown 9 and 7. But with Charles, the reverse was the case-and the researchers could see why. Rather than telling the answer directly, he was counting on from one number (on his fingers) until he got to the other, which meant he must have started at the smaller, or he got to ten, in which case he must have started at the bigger. Most strikingly, he lacked the fundamental numerical ability possessed by most newborns: being able to tell the number of objects in a small group simply by looking. When asked how many dots were on a sheet of paper, he counted on his fingers-even when there were only two.
한 실험에서 Charles는 한 쌍의 숫자를 보고 더 큰 숫자를 답하도록 요구 받았다. 대부분의 사람들은 차이가 크면 클수록 더 빠르게 "구"라고 대답할 수 있다. 예를 들어 9와 7을 보여줬을 때보다 9와 2를 보여주었을 때가 더 빠르다. 찰리는 정반대였다. 그리고 연구원들은 그 이유를 알게 되었다. Charles는 즉시 대답하는 대신 한 수에서 다른 하나에 다다를 때까지 하나씩 숫자를 (손가락으로) 세어나갔다. 이것은 작은 숫자에서 출발해야 한다는 것을 의미하며, 그가 10에 도달하면 이 경우에 그가 큰 수에서 시작했다는 것이다.
Charles's deficit, though severe, seemed to affect his numerical abilities alone. Numerical deficits in people of otherwise normal abilities can be even more striking in cases of brain damage. Lisa Cipolotti, a neuropsychologist, studied a Signora Gaddi, who used to run a hotel and keep its accounts. After a stroke she could find the number of things in a small group only by counting-when asked how many arms a crucifix had, she got Dr Cipolotti to hold out her arms so she could count them. Signora Gaddi's problems seemed to affect only numbers. She could still read, speak and reason, remember historical and geographical facts, and order objects by their physical size.
Charles의 결함은 심하기는 하지만, 숫자 능력에만 영향을 미치는 것으로 보였다. 다른 정상적인 능력을 가진 이의 수적 결함은 뇌 손상의 경우에 더욱 두드러질 수 있다. 신경정신학자인 Lisa Cipolotti는 Signora Gaddi를 연구했는데, 그녀는 호텔을 경영하며 회계장부를 기록했었다. 뇌졸중에 걸린 이후에 그녀는 작은 무리의 물건도 세아려야만 수를 알았다. 십자가에 갈래가 몇 개냐고 묻자, 그녀는 그것들을 셀 수 있게 Cipolotti 박사에게 자신의 팔을 들고 있도록 했다. Signora이 문제는 오직 숫자에만 영향을 미쳤다. 그녀는 읽고, 말하고, 사고하고, 역사적 사실이나 지리적 사실을 기억했으며, 물리적 크기에 따라 물건을 배열할 수 있었다.
In fact, Signora Gaddi's difficulties went even deeper than Charles's. The stroke which damaged her innate understanding of small numbers also robbed her of th entire numerical edifice built on that foundation. For her, numbers stopped at four.
실은, Signora Gaddi의 어려움은 찰스의 것보다 심각했다. 그녀의 숫자에 대한 내적 이해에 손상을 준 뇌졸중은 기초적인 수 체계 전체를 앗아갔다. 그녀에게 숫자는 넷에서 멈춰버렸다. 1부터 세어 나가라고 요청 받자, 그녀는 4까지 세고 나서 더 이상 나아갈 수 없었다. 종이에 점이 4개 이상 있다면 그녀는 셀 수 없었을 것이다. 그녀는 그녀가 몇 살인지, 일주일이 며칠인지 뿐 아니라 시간조차도 말할 수 없었다.
"I hated maths at school"
From barbie dolls programmed to say "math class is tough" to ministers of state who will parse and analyse a sentence but refuse to answer "what's half of three-quarters?", maths-phobia is everywhere. One reason is that mathematics builds on itself, so that one missed step can lead to a lifetime of failure. Nor does it help that sums have unambiguously right and wrong answers, making it all too clear to schoolmates just what a child does and doesn't know. But amidst the stragglers are those whose problem runs deeper than fear and loathing: the "dyscalculic", as researchers have taken to calling those whose number sense is impaired. Numerical tests given to a representative sample of children in Havana suggest their proportion in the general population is 3-6%.
"수학 시간은 힘들어" 라고 말하도록 설정된 바비인형 에서부터 "3/4의 반이 뭐에요?"라는 문장을 분석하지만 답하기는 거절하는 주지사까지, 수학 공포증은 어디에나 있다. 하나의 이유는 수학이 스스로에 기반을 두기 때문에 단계를 놓친 이는 평생 실패로 이끌 수 있다는 것이다. 이것은 합계가 분명하게 맞거나 틀리 답이 있다는 것을 돕지 않으며, 학우들에게 무엇을 알고 모르는지 너무 명확하게 보여준다. 그러나 뒤처진 사람 중에는 두려움이나 혐오 보다 심각한 문제를 가진 이들이 있다. 바로 연구원들이 숫자 감각이 손상된 이들을 지칭하는 말인 계산 장애가 있다. Havana의 대표 집단 아이들에게 제공된 숫자 실험은 그들의 비율이 3-6%라는 것을 암시한다.
Skeptics may feel this is a learning disability too far-another chance for middle-class parents to classify little Johnny as different, rather than thick. And perhaps dyscalculia will collect a penumbra of dubious cases around it, as dyslexia has. But perhaps not. Dyslexia manifests itself as a difficulty with a highly unnatural activity: reading. The best single predictor of dyscalculia, by contrast, is abnormal slowness in counting a few dots on a page, a task that most find trivially easy.
회의론자는 이것이 극단적인 학슴장애일 거라고 생각할 것이다. 그리고 아마도 계산 장애가 난독증처럼 주변의 미묘한 경우를 수집할 거라고 말이다. 하지만 아닐 수도 있다. 난독증은 매우 익숙하지 않은 행위인 읽기에 대한 어려움으로 나타난다. 이와는 대조적으로, 계산 장애의 가장 좋은 예측 변수는 대부분의 사람들이 하찮을 정도로 쉽게 여기는 일인 종이의 점을 세는 일에 대한 비정상적인 느림이다.
The researchers at University College have created a dyscalculia screener, which they think should be used to test all children early in life. With luck, diagnosis will progress to treatment: they are working on a remedial2 programme too. But even if dyscalculics never fully develop the sense of numbers they were born without, their mathematical career not be over before they have started. There are entire fields of mathematics where numerical manipulation is peripheral: logic and geometry, for example. Dr Butterworth recalls an eminent geometrician ("I won't say his name; it would embarrass him")who approached him after he had given a talk on his research. "He said: 'You know, I have always been dreadful at arithmetic.' So I asked: 'What's seven eights?' He just mumbled: 'Oh, that's trivial, there's and algorithm for that,' and walked away."
부속 대학교의 연구원들은 계산 장애 정선기를 개발해냈으며, 이것은 어린 아이들을 실험하는데 이용될 수 있을 거라고 여긴다. 다행히도, 진단은 치료로 넘어간다. 그들은 개선 2 프로그램 역시 연구하고 있다. 그러나 계산 장애가 태어나면서 숫자 감각을 온전히 발달시키지 못했을 지라도 수학적 업적은 시작해보기 전에는 끝난 것이 아니다. 수학에는 수적 조작이 주변적인 분야도 있다. 논리학이나 기하학이 그 예이다. Butterworth 박사는 그의 연구에 대한 이야기를 마치고 다가왔던 한 저명한 기하학자를 떠올린다. ("그의 이름은 언급하지 않겠네, 그를 창피하게 만들걸세"). "그는 이렇게 말했지. '저는 언제나 산수를 끔찍하게 여겼습니다' 그래서 내가 물었네. '7,8이 뭐지?' 그는 중얼거릴 뿐이었네. '아, 그건 사소한 거에요. 그 사이에는 알고리즘이 있습니다.' 라며 걸어나갔지. "